Probability Topics

7 個概念

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第一章問的是樣本能在多大程度上代替母體；這一章轉向另一個問題：在所有可能發生的情況之中，某一件事有多大可能發生。它建立的詞彙、把事件組合起來的運算（），以及事件與只是不能重疊的事件之間的區別。章末介紹兩種從真實資料讀出機率的方法：和。

樣本空間、結果與事件

定義

樣本空間（sample space）是一項試驗可能產生的每一個結果（outcome）的完整清單；事件（event）是該樣本空間的任何一個子集，可以是一個結果、幾個結果或一個也沒有；事件的機率（probability），寫作 $P(A)$ ，是一個由 0 至 1 的數，衡量它有多大可能發生。

怎樣判斷

把每一個不同的結果列出來，那份清單就是樣本空間。事件就是其中你真正在意的那個子集。當各個結果等可能（equally likely）時， $P(A)$ 等於符合 $A$ 的結果數目除以樣本空間中結果的總數目。

例子

一個 8 格的轉盤，格子由 1 至 8 編號，每格等可能（假設的例子）。樣本空間是 $S = \{1, 2, \ldots, 8\}$ 。事件 $A$ 「落在奇數上」是 $\{1, 3, 5, 7\}$ ，所以 $P(A) = 4/8 = 0.5$ 。

陷阱

「事件就是單一個結果，例如落在 4。」 一個結果是單一個情況；一個事件可以同時包含好幾個，例如上面的 $A$ 。「擲兩顆骰子，每一個點數和都是等可能的，因為沒有什麼讓某個總和特別一點。」 兩顆骰子的 36 個有序對是等可能的，但它們的點數和不是：和為 2 的只有一對，和為 7 的卻有六對不同的組合。

事件的組合：且、或與餘事件

定義

對於事件 $A$ 和 $B$ ： $A$ 且 $B$ （AND）是同時在兩者裡的結果； $A$ 或 $B$ （OR）是在其中一個或兩者裡的結果；餘事件（complement） $A'$ 是所有不在 $A$ 裡的結果。

怎樣判斷

「且」縮小到重疊的部分；「或」把任何一個事件觸及的結果全部收集起來，重疊的部分只算一次。因為每一個結果不是在 $A$ 裡就是在 $A'$ 裡，而且從不同時在兩者裡，所以 $P(A) + P(A') = 1$ 永遠成立。

例子

同一個轉盤： $A$ =「奇數」= $\{1,3,5,7\}$ ， $B$ =「大於 5」= $\{6,7,8\}$ 。 $A$ 且 $B$ = $\{7\}$ ； $A$ 或 $B$ = $\{1,3,5,6,7,8\}$ ； $A' = \{2,4,6,8\}$ ，所以 $P(A') = 4/8 = 0.5 = 1 - P(A)$ 。

同一批散落的結果和兩個事件 A、B，用三種方式加上陰影：A 且 B（左）、A 或 B（中），以及 A 的餘事件（右）。由 figures/fig-events-and-or-complement.py 繪製

陷阱

「『A 或 B』指的是其中一個，不是兩個都是。」 數學上的「或」永遠包括兩者都是，這跟點咖啡時說的「加奶精或加糖」不同，後者通常排除了兩樣都加。「餘事件要重新計數一次，就像原來的事件那樣。」 $P(A')$ 幾乎從來不需要重新計數： $1 - P(A)$ 更快，而且準確。

條件機率：知道了一件事之後，什麼會改變

定義

條件機率（conditional probability） $P(A|B)$ 是 $A$ 在已知 $B$ 已經發生的條件下發生的機率： $P(A|B) = P(A \text{ AND } B) / P(B)$ 。

怎樣判斷

知道 $B$ 發生了，樣本空間就縮小到只剩 $B$ 的結果。問這些剩下的結果之中有多少個也在 $A$ 裡，以 $B$ 的總數為分母，而不是原來的總數。

例子

同一個轉盤： $A$ =「奇數」， $B$ =「大於 5」。 $P(A \text{ AND } B) = 1/8$ （只有 7）， $P(B) = 3/8$ ，所以 $P(A|B) = (1/8)/(3/8) = 1/3$ ，低於原本的 $P(A) = 4/8$ 。

陷阱

「已知 B 時 A 的機率和已知 A 時 B 的機率是同一個數，只是順序對調了。」 兩者縮小到的是不同的樣本空間：這裡 $P(B|A) = 1/4$ ，不是 $1/3$ 。「知道 B 發生了，不能改變 A 的機率。」 恰恰當 $B$ 排除了 $A$ 的某些有利結果時，它就會改變，這裡正是如此。

獨立事件不是互斥事件

定義

當知道其中一個事件發生了並不改變另一個的機率，兩個事件就是獨立（independent）的： $P(A|B) = P(A)$ 。當兩個事件沒有共同結果、永遠不能同時發生，它們就是互斥（mutually exclusive）的： $P(A \text{ AND } B) = 0$ 。

怎樣判斷

用 $P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B)$ 檢查獨立性；用 $P(A \text{ AND } B) = 0$ 檢查互斥性。除非題目另有說明，否則先假設事件是相依（dependent）而且不互斥的，直到你能證明其中一項成立。

例子

擲一枚公正的硬幣兩次（假設的例子）：「第 1 次擲出正面」和「第 2 次擲出正面」是獨立的： $P(\text{H2}|\text{H1}) = 0.5 = P(\text{H2})$ ；而且不互斥，因為兩者可以同時發生。

陷阱

「獨立就是互斥的意思：兩個事件互不相干。」 對於各自都可能發生的事件來說，兩者是相反的：互斥事件是相依到極點的事件，因為一個排除另一個，是最強的相依關係。「連續五次正面之後，反面『該出』了。」 每一次擲都是獨立的：硬幣沒有記憶，所以無論之前如何，第 6 次仍然是 0.5。

乘法法則與加法法則

定義

乘法法則（multiplication rule）求 $P(A \text{ AND } B)$ ；加法法則（addition rule）求 $P(A \text{ OR } B)$ 。每條法則都有一個一般形式，以及一個較簡單的特例，而特例只有在真正檢查過獨立性或互斥性之後才適用。

怎樣判斷

乘法：一般形式 $\displaystyle P(A \text{ AND } B) = P(A) \cdot P(B|A)$ ；若獨立，則 $P(A) \cdot P(B)$ 。加法：一般形式 $\displaystyle P(A \text{ OR } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ AND } B)$ ；若互斥，則 $P(A) + P(B)$ 。

例子

一個假設的徵才流程：60% 的應徵者通過數學篩選測驗；50% 通過寫作篩選測驗；通過數學測驗的人之中，75% 也通過寫作測驗。下面的例題詳解求兩項都通過的機率，以及至少通過一項的機率。

例題詳解

列出已知。 $P(M) = 0.6$ ， $P(W) = 0.5$ ， $P(W|M) = 0.75$ 。
先檢查獨立性。 $P(W|M) = 0.75 \ne P(W) = 0.5$ ，所以 $M$ 和 $W$ 相依：必須用一般形式的乘法法則，不能走捷徑。
套用乘法法則。 $P(M \text{ AND } W) = P(M) \cdot P(W|M) = 0.6 \times 0.75 = 0.45$ 。
套用加法法則。 $P(M \text{ OR } W) = P(M) + P(W) - P(M \text{ AND } W) = 0.6 + 0.5 - 0.45 = 0.65$ 。

常見失誤：沒有先檢查獨立性就把 $P(A)$ 乘以 $P(B)$ ；在加法法則裡忘記減去 $P(A \text{ AND } B)$ ，讓兩項都通過的每一個人被重複計算。

案例

1654 年，賭徒德梅雷騎士（Chevalier de Méré）問道，為什麼他一直信得過的一個賭注老是輸：「擲一顆骰子 4 次，至少出現一次一點」這一注一直穩定地贏錢，於是他改為賭「擲兩顆骰子 24 次，至少出現一次雙一」，把投擲次數乘以六倍，以配合罕見程度也是六倍的雙一。這兩注並不成比例：第一注勝出的機率接近 0.518，第二注只有大約 0.491，因為重複投擲的機率是複合累積的，不是按直線比例放大。德梅雷的難題傳到巴斯卡（Blaise Pascal）那裡，他因此與費馬（Pierre de Fermat）通信，一般認為機率的數學理論正是由這些通信奠基的。

陷阱

「你永遠可以直接把 P(A) 乘以 P(B) 得到 P(A 且 B)。」 只有獨立時才可以，否則必須用 $P(A) \cdot P(B|A)$ ，就像上面那樣，那裡 $0.6 \times 0.5 = 0.3$ 會是錯的。「加法法則就是 P(A) + P(B)。」 除非事件互斥，否則那會把重疊部分多算一次；減去 $P(A \text{ AND } B)$ 正是修正的方法。

讀懂列聯表

定義

列聯表（contingency table）把兩個類別變數按列和行做成交叉表，讓列總和、行總和和格內的計數可以轉化為邊際機率（marginal probability）、聯合機率（joint probability）和條件機率。

怎樣判斷

邊際機率是把一個列總和或行總和除以全表的總計。聯合機率是把一格除以全表的總計。條件機率是把一格除以它自己所在的列總和或行總和：「已知」這個詞永遠會縮小分母。

例子

一家假設的健身房把 200 名會員按會員資格類型（標準／高級，屬）與每週課程的出席情況（是／否）做成交叉表。下面的例題詳解直接從表中讀出三個機率。

例題詳解

讀表。 高級會員且有上課 = 30；高級會員總和 = 50；全表總計 = 200。
邊際機率。 $P(\text{Premium}) = 50/200 = 0.25$ 。
聯合機率。 $P(\text{Premium AND attends}) = 30/200 = 0.15$ 。
條件機率。 $P(\text{attends} \mid \text{Premium}) = 30/50 = 0.6$ ：除以高級會員那一列的總和，不是全表的總計。

常見失誤：求條件機率時除以全表的總計，而不是相關的列總和或行總和；把 $P(\text{attends}\mid\text{Premium})$ 和 $P(\text{Premium}\mid\text{attends})$ 對調了，後者是把同一個 30 除以另一個總和。

200 名會員的健身房例子的馬賽克圖：長條的寬度顯示標準會員與高級會員各有多少人，每個長條內陰影的高度顯示該組有多大比例的人參加每週課程。由 figures/fig-contingency-mosaic.py 繪製

陷阱

「從表裡求任何機率都是除以全表的總計。」 只有邊際機率和聯合機率才是；條件機率改為除以它所在的列總和或行總和。「已知高級會員時有上課的機率，和已知有上課時是高級會員的機率，算出來一樣。」 兩者是把 30 除以不同的總和：一個是 50，另一個是「有上課」那一行的總和 70，兩者很少相等。

樹狀圖與文氏圖

定義

樹狀圖（tree diagram）把一連串事件畫成標有機率的分支，沿每條路徑相乘；文氏圖（Venn diagram）把事件畫成一個代表樣本空間的方框裡互相重疊的區域。

怎樣判斷

在樹狀圖上，沿一條路徑把分支的機率相乘；後面的分支可以標上取決於前一條分支的條件機率。在文氏圖上，重疊部分是「且」，合起來的面積是「或」，圓以外的部分是該事件的餘事件。

例子

一個袋子裡有 5 顆紅色和 3 顆藍色的彈珠（假設的例子），取後不放回地抽出兩顆。第一對分支是 $5/8$ （紅色）和 $3/8$ （藍色）；已知第一次是紅色，第二對分支變成 $4/7$ 和 $3/7$ ，所以 $P(\text{red, red}) = 5/8 \times 4/7$ 。

從一袋 5 顆紅色和 3 顆藍色的彈珠中取後不放回地抽出兩顆的兩階段樹狀圖：因為第一顆彈珠沒有放回，第二次抽出的分支機率有所改變。由 figures/fig-tree-diagram.py 繪製

陷阱

「沿一條路徑要把分支的機率相加，而不是相乘。」 相乘是逐條分支套用乘法法則；相加屬於合併不同的路徑，不是一條路徑本身的各個步驟。「文氏圖裡圓的大小必須跟真實的機率相符。」 文氏圖是示意圖：除非圖上明確說明，否則一個圓畫得多大，並不對它的實際機率作任何承諾。

從樣本空間到日常生活的機會綜合運用

最後一個假設的例子把整章串起來：一家小診所記錄 500 名病人的檢驗結果（陽性或陰性，屬），以及他們是否真的患有某種罕見疾病，這正是一個呼之欲出的。診所的是全部 500 名病人；「檢驗呈陽性」和「患有該病」各是一個，而問已知其中一個時另一個的機率，是，不是單純的邊際比率。這兩個事件不：真實檢驗的結果取決於實際病況；它們也不互斥，因為兩者可以同時成立。求「檢驗呈陽性且患有該病」用的是；求「檢驗呈陽性或患有該病」用的是加法法則。可以把「先病況、後檢驗」畫成兩層分支，沿每條路徑相乘；文氏圖則可以把同一個關係畫成兩個重疊的圓。這七個概念沒有一個是可有可無的鷹架：合起來，它們就是把陽性結果讀成患病的證明，與正確地把它讀成一項證據之間的區別，這項證據會推移機率，卻不會把它釘死在 0 或 1。

資料來源

1 OpenStax Introductory Statistics §3.1: Terminology — 來源
2 OpenStax Introductory Statistics §3.2: Independent and Mutually Exclusive Events — 來源
3 OpenStax Introductory Statistics §3.3: Two Basic Rules of Probability — 來源
4 OpenStax Introductory Statistics §3.4: Contingency Tables — 來源
5 OpenStax Introductory Statistics §3.5: Tree and Venn Diagrams — 來源
6 cut-the-knot.org: Chevalier de Méré's Problem — 來源
7 MacTutor History of Mathematics (Univ. of St Andrews): Pierre de Fermat — 來源